Гдз по математике 5 класс г. в. дорофеева и ф. шарыгина 2013

У нас вы можете скачать книгу гдз по математике 5 класс г. в. дорофеева и ф. шарыгина 2013 в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Римская нумерация используется редко, но всякий культурный человек должен уметь прочитать на фронтоне здания год, когда оно построено: С помощью римской нумерации обычно обозначают века, главы в книге.

Олимпийские игры и т. Однако для практического употребления римская нумерация неудобна. Даже чтобы прочитать число, нужно устно складывать и вычитать, так как каждая цифра, где бы она ни стояла, означает одно и то же число единиц. И совсем уж сложно в этой нумерации выполнять арифметические действия. Если бы мы захотели в римской нумерации записать очень большое число, состоящее из многих тысяч и миллионов, то нам потребовалось бы придумать еще много новых цифр — для десятков тысяч, сотен тысяч и т.

Даже запомнить их все было бы очень трудно. Поэтому великим достижением математиков было изобретение десятичной системы записи чисел, хорошо вам известной.

В ней используются только 10 цифр — их обычно называют арабскими: Например, в числе 3 цифра 2 означает две единицы, цифра 5 — пять десятков, цифра 1 — одну сотню и т. Поэтому десятичную систему называют позиционной.

Изобретение десятичной системы, какой бы простой она сейчас ни казалась, заняло несколько веков. А самая главная трудность состояла в необходимости цифры, которая показывала бы отсутствие единиц соответствующего разряда. Известно, что такая цифра была изобретена в Индии в VII в. В десятичной системе с помощью только десяти цифр можно записать любое, сколь угодно большое число. Самая левая группа может состоять из одной или двух цифр. Сначала идет класс единиц, потом класс тысяч.

Есть названия для классов, следующих за классом тысяч, — это миллион, миллиард, триллион. Так, в записи числа всего четыре класса: Что означает цифра 7 в записи чисел 27, , 74 ? Каждое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, в числе содержится 2 тысячи, 8 сотен, 0 десятков и 3 единицы. Используя этот образец, запишите в виде суммы разрядных слагаемых число: Какое число представлено в виде суммы разрядных слагаемых: Выразите в сантиметрах и прочитайте получившийся результат: Запишите три следующих числа и прочитайте их.

Запишите три предыдущих числа и прочитайте их. Составьте другое число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и прочитайте его: Сколько различных цифр использовано для записи числа: Сколько чисел можно составить, используя только цифры 2 и 5?

Используя все цифры от 0 до 9 по одному разу, запишите сначала наибольшее число, а потом наименьшее число. Запишите последовательность из семи чисел, для записи которых используется только цифра 3 и каждое из следующих имеет на один разряд больше предыдущего.

Придумайте правило, по которому можно продолжить последовательность чисел: Запишите три следующих числа. Про- читайте эти числа. Запишите арабскими цифрами число: Запишите несколько чисел, которые можно составить с помощью римских цифр: Запишите римскими цифрами год издания этого учебника.

Сравнение чисел Числа, которые мы называем при счете: Натуральные числа появились в глубокой древности, когда людям понадобилось вести счет плодов, животных и т. Натуральные числа, записанные по порядку одно за другим, образуют натуральный ряд. В натуральном ряду есть наименьшее число и нет наибольшего. Обратите внимание на то, что число 0 не входит в натуральный ряд чисел, т. Это тоже совершенно естественно, потому что считать предметы никогда не начинают с нуля. Каждое натуральное число получается из предыдуш;его прибавлением единицы: Но это правило имеет одно исключение: В то же время у каждого натурального числа имеется следуюш;ее, и это верно для всех чисел без исключения.

Заметим, что в натуральном ряду чередуются четные и нечетные числа, т. Из двух различных натуральных чисел всегда одно больше, а другое меньше. Меньшим считается то число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим — то, которое появляется позже. Например, число 23 больше 17, а число 17 меньше Договорились считать, что число 0 меньше любого натурального числа. Такие записи называют неравенствами. Число 15 меньше, чем 22, а число 22 меньше, чем Это можно записать в виде двойного неравенства: Какое из чисел меньше: Если нет, то исправьте запись.

Запишите числа сначала в порядке возрастания, а потом в порядке убывания: Укажите наименьшее из них. Числа и точки на прямой Вы, наверное, заметили, что в курсе математики мы занимаемся числами и фигурами, т.

Вообще в математике числа и фигуры неразлучны. В этом пункте вы узнаете, как связаны натуральные числа и точки на прямой. Начертим прямую, отметим на ней точку О, а справа от нее еще одну точку — Е рис. Будем считать, что точка О изображает число О, а точка Е — число 1.

Отрезок ОЕ назовем единичным отрезком. Отложив вправо от этой точки еще один единичный отрезок, получим точку, изображающую число 3. Так, шаг за шагом, можно построить точки, которым соответствуют числа 4, 5, 6, Прямую с отмеченными точками, которые изображают числа О, 1, 2, 3, 4, Если, например, точка М имеет координату, равную 8, то это записывают так: На координатной прямой большему числу соответствует точка, расположенная правее, а меньшему — точка, расположенная левее.

Направление, в котором мы перемеш;аемся по прямой, переходя от меньшего числа к большему, показывают стрелкой. Изображение чисел точками прямой для математиков настолько привычно, что в речи часто число и изображаюш;ую его точку не различают. Какие числа соответствуют точкам, отмеченным на координатной прямой рис.

Запишите координаты точек, отмеченных на координатной прямой рис. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок одну клеточку. Отметьте на ней точки: Отметьте на ней числа 1, 3, 5, 7, 9. Отметьте на ней числа 2, 4, 8, Какая из точек Е 98 , К , М 89 или Р расположена на координатной прямой правее других? Запишите координаты всех точек, которые на координатной прямой расположены: Начертите прямую и отметьте на ней точку О.

Отступив от точки О вправо на четыре клетки, поставьте метку и подпишите под ней число 2. Отметьте на этой координатной прямой числа 1, 4, 8. Отступив от точки О вправо на три клетки, поставьте метку и подпишите под ней число 6.

Отметьте на этой координатной прямой числа 12, 2, 8. Перечертите рисунок 57 в тетрадь и подпишите числа у каждой метки. В каждом случае сделайте рисунок. Каким числам соответствуют точки А, В, С на рисунке 58? А ВС -нh 0 5 чh -Ih 20 50 Рис. На координатной прямой рис. Сравните числа а и 12, 6 и 12, а и Ь; запишите результат с помощью знака неравенства.

О а 12 2—г. Если вдуматься в это предложение, то возникают вопросы: А может быть, оно равно км? Почему же мы все-таки верим астрономам, которые называют такое расстояние?

Все эти данные не являются точными, однако в жизни они играют очень важную роль: И для этого не нужно, например, знать абсолютно точно число людей, живущих в Москве и в Нью-Йорке, тем более что это и невозможно, так как население крупного города ежедневно меняется. Когда полная точность не нужна или невозможна, числа округляют, т. Например, директор стадиона точно знает, что на футбольный матч продано 46 билетов. Но комментатор матча скажет, что на стадионе 40—50 тысяч зрителей, и этой информации вполне достаточно.

Ясно, что 50 — оно меньше отличается от точного числа 46 Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т. Округлим до десятков число Ясно, что это число рис. Округляя число до десятков, мы заменили его приближенным значением с недостатком.

Это число ближе к , чем к рис. Поэтому мы должны заменить его приближенным значением с избытком: Округлим до тысяч число Из двух чисел и второе, т. Поэтому Если требуется округлить натуральное число, вы всегда можете сделать это с помощью рассуждений, как в рассмотренных выше примерах.

Округлим до миллионов число 20 Заменяем нулями шесть цифр, стоящих правее разряда миллионов, а цифру в разряде миллионов увеличиваем на единицу: Рассмотрите двойное неравенство и укажите, к какому из двух крайних чисел ближе среднее число: Заметим, что сложить можно любые два натуральных числа, а разность двух чисел можно найти только в том случае, когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему.

Из свойства нуля при сложении вытекают соответствуюш;ие свойства вычитания: Приведите примеры, иллюстрируюш;ие эти свойства. С помощью сложения проверьте, верно ли равенство: Представьте число в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно: Сравните значения выражений, не выполняя вычислений: Пользуясь оценкой, сравните значение каждой суммы с данным числом: Представьте в виде степени числа Прочитайте каждое из этих чисел, используя названия, данные в таблице. Квадраты на рисунке 73, а изображают последовательность квадратов натуральных чисел: Эти же квадраты на рисунке 73, б изображают последовательность чисел, получаемых по правилу: Используя эти рисунки, запишите еще несколько равенств.

Задачи на движение Вы уже много раз встречались с задачами на движение. В них рассматриваются три взаимосвязанные величины: До сих пор вы в основном решали задачи, в которых речь шла о движении одного пешехода, одного велосипедиста, одной машины. Теперь мы будем учиться решать задачи, в которых два участника движения. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода.

Какое расстояние будет между ними через 3 часа? Найдем расстояние, которое пройдет за 3 часа каждый из пешеходов рис. Эту задачу можно решить и другим способом. Теперь нетрудно найти, на какое расстояние удалятся друг от друга пешеходы за 3 часа: Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км рис. Через сколько часов они встретятся?

Найдем скорость сближения пешеходов. Так как расстояние между пешеходами 18 км, а за час они сближаются на 9 км, то их встреча произойдет через Рассмотрим теперь, как решаются задачи на движение по реке.

В них есть своя особенность: Тогда скорость, с которой лодка плывет по течению, складывается из ее собственной скорости и скорости течения: А скорость, с которой лодка плывет против течения реки, получается вычитанием скорости течения реки из ее собственной скорости: Катер плыл от одной пристани до другой вниз по течению реки 2 часа. Как вы думаете, кто мог двигаться в каждом из этих случаев? Какое расстояние будет между ними: Решите задачу двумя способами. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях.

Через сколько часов расстояние между ними будет равно: Расстояние между ними км. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода.

На каком расстоянии друг от друга будут поезда: Таня и Алеша идут навстречу друг другу, чтобы встретиться. Сейчас расстояние между ними м. Через сколько минут расстояние между ними будет равно: Андрей едет на велосипеде и в каждую минуту проезжает м.

Через сколько минут они встретятся, если сейчас расстояние между ними: Две моторные лодки одновременно отправляются навстречу друг другу от двух пристаней. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между пристанями равно: Петя и Коля одновременно выбегают с разных концов беговой дорожки навстречу друг другу. Какова длина беговой дорожки, если они встретились: Автомобиль и автобус отправились одновременно с двух автобусных станций навстречу друг другу и встретились через 2 ч.

Чему равно расстояние между станциями, если: Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 54 км. Через сколько часов они встретятся, если: Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении.

Чем это можно объяснить, если учесть, что мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки? В каком направлении течет река? Какой путь пройдет катер за 3 ч? На сколько километров река относит любой предмет щепку, плот за 1 ч, 5 ч?

С какой скоростью будет двигаться катер: Сколько времени затратит теплоход на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми км, если он будет плыть: Катер проплыл 72 км по течению реки и вернулся обратно.

Расстояние между причалами 24 км. Туристы отправились на прогулку на катере. Они проплыли 36 км по течению реки, сделали привал на 3 ч и затем вернулись обратно. Какое расстояние будет между мальчиками: Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся? Через сколько часов после своего выхода пешеход встретит велосипедиста? Чему равно расстояние между школой и стадионом, если: Две электрички двигались от двух платформ навстречу друг другу.

Через 3 мин после встречи расстояние между ними стало равным 7 км м. Сколько метров в минуту проезжала первая электричка, если вторая проезжала м в минуту? Выразите скорости электричек в километрах в час. Из городов А и Б одновременно навстречу друг другу вышли скорый и пассажирский поезда.

Через 2 ч поезда встретились, а еще через 3 ч пассажирский поезд прибыл в Б. Сергей и Глеб каждый день делают пробежку по дорожкам парка. Они бегут по одной дорожке навстречу друг другу, и расстояние между ними в некоторый момент равно м. Два друга-охотника вышли навстречу друг другу из леса с двух сторон поляны и оказались на расстоянии м друг от друга. Собака одного из охотников побежала навстречу другому.

Добежав до него, она вернулась к хозяину и, повернув, снова бросилась к его другу. Так она продолжала свой бег до встречи двух охотников. По течению реки моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения реки. Катер проплыл 72 км между пристанями по течению реки за 2 ч, а против течения — за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты? Лодка плывет по течению реки. В некоторый момент гребец уронил в воду шляпу и, не заметив этого, продолжил плыть дальше.

Изменится ли ответ, если скорость течения будет другой? По течению реки катер проходит расстояние между пристанями А и В за 7 ч, а против течения — за 9 ч. Спределите собственную скорость катера. Точно так же при умножении последняя цифра результата зависит только от последних цифр множителей. Поэтому при нахождении последних цифр сложного числового выражения, составленного из сумм и произведений, многозначные числа можно заменять их последними цифрами. Например, найдем последнюю цифру суммы: Для этого сначала найдем последние цифры слагаемых.

Получим 2, 4 и 8. Если в выражении имеется разность, то так просто решение может не получиться. Но наше рассуждение можно подправить: Степень числа — это произведение одинаковых множителей. Поэтому последняя цифра степени определяется по последней цифре основания степени. Немного сложнее обстоит дело с делением. В обоих случаях делитель и делимое оканчиваются на 4 и на 8, а частное в одном случае оканчивается на 3, в другом — на 8.

Однако и в этом более сложном случае некоторые выводы о последней цифре частного можно сделать. Например, если делимое оканчивается на 4, а делитель — на 3, то частное обязательно оканчивается цифрой 8; при умножении последней цифры частного на последнюю цифру делимого 3 должно получиться 4, а таким свойством обладает только цифра 8. А если делимое оканчивается на 4, а делитель — на 6, то последняя цифра частного или 4, или 9 — и никакая другая. Найдите последние цифры значений выражений: Найдите первую не равную нулю цифру справа в произведении: Замените многоточие любым числом так, чтобы получилось верное равенство там, где это невозможно, объясните почему: Задания для самопроверки Обязательные результаты обучения 1.

Ленту длиной 11 м 20 см разрезали на куски по 80 см. Сколько получилось таких кусков? Какое расстояние он проехал? Из м ткани сшили одинаковых платьев. Сколько ткани пойдет на таких же платьев? В первом книжном шкафу книг, во втором — на книг больше, а в третьем — в 4 раза меньше, чем во втором. Сколько всего книг в трех шкафах вместе? Токарь и ученик изготовили детали. Токарь работал 8 ч и изготовлял 12 деталей в час. Сколько деталей в час изготовлял ученик, если он работал 6 ч?

До конца маршрута ему осталось проехать 65 км. Чему равна длина маршрута? Какое расстояние будет между ними через 2 ч, если расстояние между пунктами 64 км? Какое расстояние проплывет лодка за 2 ч, если будет плыть по течению? Какое расстояние проплывет лодка за 3 ч, если будет плыть против течения? С помощью букв переместительное свойство сложения можно записать так: Это буквенное равенство, выражающее общее свойство сложения чисел, заменило нам бесконечное множество числовых равенств.

Изобретение способа записи математических предложений с помощью букв, известного сейчас даже школьникам, в свое время было одним из важнейших достижений математики.

Оно было сделано только в XVI в. Вы знаете также, что сложение обладает сочетательным свойством. Оно состоит в том, что в сумме трех чисел можно группировать как первые два, так и последние два числа. Таким же образом с помощью букв можно записать переместительное и сочетательное свойства умножения: В предыдущей главе мы рассмотрели правила, которые устанавливают порядок действий в вычислениях.

По этим правилам вычисляют значения числовых выражений вычислительные машины. Однако человек, который считает хуже машины, в отличие от машины умеет думать, старается ускорить и облегчить свою работу.

Такую возможность дают ему свойства сложения и умножения. Для этого сначала преобразуем его с помощью переместительного и сочетательного свойств: Теперь ответ можно получить устно: Вообще переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения позволяют сформулировать следующие правила: Произведение 4 и 25 равно , а на умножать легко. Поэтому сгруппируем множители следующим образом: В истории математики известен такой случай.

Каково же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ: Этот ученик, Карл Фридрих Гаусс, стал великим математиком. Как Гауссу удалось быстро подсчитать сумму?

Чтобы понять, как рассуждал Гаусс, разберем более простую задачу — найдем сумму натургшьных чисел от 1 до Объединим слагаемые в пары — первое с десятым, второе с девятым и т. Попробуйте теперь сами найти сумму, которую так быстро вычислил Гаусс. Вычислите, группируя одинаковые слагаемые: Заполните таблицы, выполняя вычисления устно.

Туристы прошли маршрут за 5 дней. В первый день они прошли 15 км, а в каждый следующий день — на 5 км больше, чем в предыдущий. Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 23 мин, а каждую следующую — на 2 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?

Чему равно значение выражения: Воспользовавшись этими равенствами, вычислите: Вычислите сумму, используя прием Гаусса: Распределительное свойство Найдем площадь прямоугольника ABCD, составленного из двух прямоугольников одинаковой ширины рис. Это можно сделать по-разному. Например, найти длину прямоугольника и умножить ее на ширину: Или найти площадь каждого из двух прямоугольников и полученные числа сложить: Это буквенное равенство выражает так называемое распределительное свойство.

Словами его можно прочитать так: Заметим, что распределительное свойство верно не только для двух, но и для любого числа слагаемых. Вычитание вместе с умножением также обладает распределительным свойством. При вычислении значений этих выражений получится одно и то же число, т. Распределительное свойство, как переместительное и сочетательное, применяется для упрощения вычислений.

Говорят, что мы вынесли за скобки общий множитель — число Приведем еще пример того, как использование свойств действий позволяет упрощать вычисления. Таня и Наташа выбежали одновременно из одной точки в противоположных направлениях. Какое расстояние будет между ними через 4 мин? Решите задачу, составив два разных выражения. Дима и Сережа вышли одновременно навстречу друг другу из своих домов и встретились через 5 мин.

Чему равно расстояние между домами Димы и Сережи? Вычислите, используя распределительное свойство: Найдите значение выражения, вынося за скобки общий множитель: Сравните значения выражений, не выполняя действий: Токарь за 1 ч делает 15 деталей, а его ученик — 11 деталей.

Сколько деталей сделают они за 8 ч работы? На одной копировальной машине можно распечатать 6 страниц в минуту, а на другой — 8 страниц. Сколько страниц можно распечатать за 20 мин, если обе машины будут работать одновременно?

На двух копировальных машинах за 15 мин распечатали страниц. Первая машина печатает 6 страниц в минуту. Сколько страниц в минуту печатает вторая машина? В актовом зале стоят стулья, по 17 стульев в ряду. Первые 12 рядов составлены из красных стульев, а следующие 18 рядов — из синих стульев. Сколько стульев в актовом зале? Лук посадили в 4 ряда, по 15 луковиц в каждом, а потом в каждый ряд посадили еще по 12 луковиц.

Сколько всего посадили луковиц? В зале кинотеатра кресел, которые расставлены одинаковыми рядами, по 25 кресел в каждом. В партере 12 рядов. Сколько рядов в амфитеатре? Комплект состоит из большого и двух маленьких полотенец. На большое требуется 1 м 50 см ткани, а на маленькое — 75 см ткани. Сколько ткани потребуется на 45 таких комплектов? Десятирублевые купюры сложили в три пачки. В первой оказалось р. Придумайте задачу, для решения которой можно составить два выражения: Во многих случаях умножение какого-либо числа на 15 легко выполнить устно: Покажем, почему можно применять такой способ: Пользуясь этим приемом, выполните умножение: Догадайтесь сами, как умножить устно какое-нибудь число на , и обоснуйте свой способ.

Придумайте несколько примеров умножения на и решите их. Чтобы умножить трехзначное число на , достаточно приписать к нему справа само это число. Объясните, опираясь на распределительное свойство, почему это верно.

Вычислите наиболее удобным способом: Ученик задумал число, умножил его на 8, затем это же число отдельно умножил на 15 и результаты сложил. В сумме получилось Какое число задумал ученик? Ученик задумал число, умножил его на 16, затем это же число умножил на 9. Первое произведение оказалось на 42 больше второго.

Два мастера работают на фабрике елочных игрушек. Оба в час расписывают одно и то же количество шаров. Первый мастер работал 5 дней, по 8 ч в день, а второй — 4 дня, по 6 ч в день. Вместе они расписали елочных шаров.

Сколько шаров расписал каждый? Лида и ее подруга должны запечатать конвертов. Они работают с одинаковой скоростью. Лида начала работу, через час к ней присоединилась ее подруга, и через час после этого они закончили работу. Сколько конвертов запечатала каждая девочка?

Задачи на части Задача 1. В кулинарной книге написано, что для варенья из малины на 3 части ягод надо брать 2 части сахара. Сколько сахара надо взять на 9 кг ягод?

Так как 9 кг ягод составляют 3 части, то можно узнать, сколько килограммов приходится на одну часть: Для детских новогодних подарков были закуплены шоколадные конфеты и карамель — всего 20 кг.

Сколько было закуплено конфет того и другого сорта, если карамели взяли в 3 раза больше, чем шоколадных конфет? Это тоже задача на части, только их надо специально ввести.

Будем считать, что шоколадные конфеты составили 1 часть, тогда карамель составила 3 части рис. Итак, было куплено 5 кг шоколадных конфет и 15 кг карамели. Для варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара.

Требуется смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько цемента и песка в отдельности надо взять, чтобы получить 30 кг смеси? Для компота купили г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши — 3 части и сливы — 2 части общего веса сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив было в отдельности? Яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, а сливы — 5 частей общего веса сухофруктов.

Найдите общий вес сухофруктов, если в них содержится: При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова.

Сколько в нем содержится свинца и сколько олова? При помоле на каждые 3 части муки получается 1 часть отходов. Сколько смололи ржи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов? Взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив.

Груш и слив вместе — 2 кг г. Какова общая масса всех фруктов? Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку, на тетради в клетку, на все тетради рис. Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько — в клетку? На двух полках вместе стояло книг.

Сколько книг стояло на каждой полке? Рубашка дороже галстука в 4 раза. Всего в этих вагонах 72 места. Сколько спальных мест в мягком вагоне? Всего они сорвали орехов.

Девочка сорвала в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и сколько у девочки? Всего в книге страниц. Сколько страниц прочитала девочка? Сколько орехов надо положить в каждый пакет? К сентябрю в календаре осталось листов в 2 раза меньше, чем оторвали. Причем тетрадей в клетку было на 18 больше, чем в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик? Это на 12 книг больше, чем на второй полке. В первый день он прочитал в 3 раза больше страниц, чем во второй, а в третий — 16 страниц.

Сколько страниц прочитал Митя в первый день? Первая из них имеет длину 25 м, а вторая в 2 раза короче третьей. Найдите длину второй и третьей частей. Дочка младше мамы в 4 раза и младше бабушки в 9 раз. Сколько лет каждой, если вместе им 98 лет?

У Сережи в коллекции в 3 раза меньше марок, чем у Васи, а у Андрея — в 2 раза больше, чем у Васи. Сколько марок у каждого, если у Андрея на 80 марок больше, чем у Сережи? В двух коробках 36 кусков мела. Когда из одной коробки израсходовали 12 кусков мела, то в ней стало в 3 раза меньше мела, чем в другой. Сколько кусков мела было в каждой коробке первоначально?

В двух банках 5 л молока. Когда в одну банку добавили 1 л, то в ней стало в 2 раза больше молока, чем в другой. Сколько литров молока было в каждой банке? В трех больших пакетах и четырех маленьких содержится г печенья. Сколько граммов печенья в маленьком пакете, если в него входит в 2 раза меньше печенья, чем в большой?

В шести маленьких коробках на 12 карандашей больше, чем в двух больших. Сколько карандашей во всех маленьких коробках и сколько во всех больших, если в одной маленькой коробке в 2 раза меньше карандашей, чем в большой? Задачи на уравнивание Задача. В двух пачках всего 70 тетрадей, причем в первой на 10 тетрадей больше, чем во второй рис. Сколько тетрадей в каждой пачке? Иными словами, мы выяснили, что во второй меньшей пачке 30 тетрадей. Сколько карандашей в каждой коробке?

В одной из них на 12 кассет меньше, чем в другой. Сколько кассет в каждой коробке? Сколько картофеля собрал каждый? Брат нашел на 7 грибов больше, чем его сестра. Сколько грибов нашел брат? Сколько мальчиков и сколько девочек в пятых классах?

Сколько юношей и сколько девушек участвовало в соревнованиях? Сколько лет каждой из них? Сколько стоят газета и журнал в отдельности? У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец? Найдите эти числа, б Сумма двух чисел равна , первое меньше второго на Найдите эти числа, б Сумма двух чисел 87, а разность Представьте число 75 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на единицу меньше другого. Представьте число в виде суммы двух последовательных четных чисел.

Его длина на 4 см больше ширины. Его длина на 5 см больше ширины. Найдите три последовательных числа, сумма которых равна: Андрей на 2 года старше Бориса, а Борис на 1 год старше Василия.

Сколько лет каждому, если вместе им 40 лет? Семья состоит из четырех человек: Отец на 5 лет старше матери. Мать в 4 раза старше сына и в 5 раз старше дочери. Сколько лет каждому, если сумма их возрастов года? Примите возраст матери за 20 частей. На рисунке 82 изображены первые пять таких треугольников.

Нарисуйте в тетради восемь таких треугольников. Каждый шарик в треугольнике — это единица; сколько шаров в треугольнике, столько и единиц в числе. Числа, которые показывают, сколько шаров содержится в треугольниках, называют треугольными. Подсчитаем с помош;ью рисунка несколько первых треугольных чисел и составим таблицу.

Для этого можно использовать нарисованные вами треугольники. А можно ли продолжить выписывание треугольных чисел дальше, не обраш;аясь к рисунку?

Сделать это совсем просто, если понять правило, по которому каждое следующее треугольное число получается из предыдущего.

Посмотрите еще раз на рисунок: Понятно, что если мы хотим найти, например, девятое треугольное число, то нам надо к предыдущему, т. Пользуясь замеченной закономерностью, продолжите выписывать треугольные числа до пятнадцатого. А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не вычисляя всех предыдущих?

Попробуем, например, найти иначе треугольное число под номером Обратимся опять к изображению треугольных чисел в виде равносторонних треугольников. Понятно, что десятое треугольное число изображается в виде треугольника с 10 рядами, в которых содержится 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 шаров. Поэтому десятое треугольное число равно сумме: Для подсчета этой суммы запишем ее слагаемые в обратном порядке и расположим суммы одна под другой: Сумма каждой пары чисел, расположенных друг под другом, равна Всего таких сумм Вообш;е, треугольное число с номером п равно сумме последовательных натуральных чисел от 1 до п.

Треугольные числа связаны с именем великого древнегреческого математика и философа Пифагора, который жил в VI в. Пифагор изображал числа точками. Например, число 5 изображалось так: В пятнадцатом треугольнике шаров. Сколько шаров в шестнадцатом треугольнике? А когда стали строить треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не хватило 4 шаров. Найдите число, отличающееся от соседних треугольных чисел на 3 и на 4 единицы, б Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник — остались лишними 24 шара.

А когда стали строить треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не хватило 11 шаров. Найдите соседние треугольные числа, разность которых равна В каком порядке идут четные и нечетные числа в последовательности треугольных чисел?

Четным или нечетным является число с номером 17, 18, 19, 20? Четным или нечетным является число с номером 60, 78, 35? Вычислите, выбирая удобный порядок действий: Определите, какое из следующих выражений имеет то же значение, что и данное выражение: Две грузовые машины перевозят картофель с овощной базы в магазины. На одну машину грузят кг картофеля, а на другую — кг. Сколько килограммов картофеля перевезут эти машины за 3 рейса?

Для приготовления гречневой каши на 2 части гречки берут 3 части воды. Сколько граммов воды надо взять на г гречневой крупы?

Чтобы сварить варенье из слив, берут 10 частей слив, 15 частей сахара и 2 части воды. Было приготовлено кг варенья. Сколько слив пошло на варенье? Сам угол обозначают так: Этот же угол можно обозначить и короче, по его вершине: Углы, как и отрезки, можно сравнивать между собой. Чтобы сравнить два угла, можно наложить их друг на друга, как показано на рисунке Легко увидеть, что первый угол меньше, так как он целиком оказался внутри второго. Если при наложении одного угла на другой они совпадут, то эти углы равны.

Такой луч называется биссектрисой угла. Его биссектрису легко найти перегибанием. Для этого угол надо сложить так, чтобы его стороны совпали.

Линия сгиба и будет биссектрисой этого угла. Вы уже использовали для построения фигур и измерений линейку и циркуль. Познакомимся еще с одним инструментом — угольником. С его помощью можно построить особый угол, который называется прямым углом рис. Прямой угол встречается нам постоянно. Так, на клетчатой бумаге линии пересекаются под прямым углом.

Начертим два прямых угла с общей вершиной и одной общей стороной, тогда две другие стороны этих углов составят прямую рис. Считают, что лучи, составляющие прямую, также образуют угол. Этот угол называют развернутым. Развернутый угол равен двум прямым углам, а прямой угол составляет половину развернутого.

Угол, меньший прямого, называется острым углом, а угол, больший прямого, но меньший развернутого, — тупым рис. Назовите и запишите углы, изображенные на рисунке С помощью кальки найдите на рисунке 90 угол, равный углу А. Начертите в тетради какой-нибудь угол и обозначьте его.

А теперь от руки нарисуйте равный ему угол. Проверьте себя с помощью кальки. Вырежьте из листа бумаги три неравных угла. Какой из них является наибольшим? Начертите в тетради угол и обозначьте его АОС. Начертите на листе бумаги какой-нибудь угол и проведите его биссектрису. Вырежьте этот угол и проверьте перегибанием, правильно ли вы разделили угол пополам. Какие из углов, изображенных на рисунке 91, являются острыми, а какие — тупыми?

Есть ли здесь прямой угол? Начертите в тетради острый, прямой и тупой углы. Скопируйте в тетрадь углы, изображенные на рисунке Какой из этих углов острый, какой — тупой, а какой — прямой?

Начертите на листе в клетку прямой угол. Длина линии 11 1. Окружность 16 Для тех, кому интересно. Как записывают и читают числа — 2. Сравнение чисел 27 2. Числа и точки на прямой 31 2. Округление натуральных чисел 34 2. Перебор возможных вариантов 39 Для тех, кому интересно. Магические квадраты 44 Задания для самопроверки Сложение и вычитание — 3. Умножение и деление 55 3. Порядок действий в вычислениях 61 3. Степень числа 67 3. Задачи на движение 72 Для тех, кому интересно.

Последняя цифра 78 Задания для самопроверки Использование свойств действий при вычислениях Свойства сложения и умножения — 4. Распределительное свойство 86 4. Задачи на части 90 4. Задачи на уравнивание 94 Для тех, кому интересно. Треугольные числа 95 Задания для самопроверки Как обозначают и сравнивают углы — 5. Измерение углов 5. Углы и многоугольники Для тех, кому интересно. Делители и кратные — 6. Простые и составные числа 6. Делимость суммы и произведения 6.

Признаки делимости 6. Деление с остатком 6. Разные арифметические задачи Для тех, кому интересно. Треугольники и их виды — 7. Равенство фигур 7. Площадь прямоугольника 7. Единицы площади Для тех, кому интересно. Построение на клетчатой бумаге … Что такое дробь 8. Основное свойство дроби 8.

Приведение дробей к общему знаменателю 8. Сравнение дробей 8. Натуральные числа и дроби 8. Случайные события Для тех, кому интересно. Сложение дробей — 9. Сложение смешанных дробей 9. Вычитание дробных чисел 9. Умножение дробей 9. Деление дробей 9. Нахождение части целого и целого по его части 9. Задачи на совместную работу Для тех, кому интересно. Старинные задачи на дроби Задания для самопроверки Геометрические тела и их изображение — Объем параллелепипеда Развертки Для тех, кому интересно.

Чтение и составление таблиц — Чтение и построение диаграмм Опрос общественного мнения Задания для повторения Предметный указатель Справочный материал Ответы Вместе эти две книги составляют единое целое. Надеемся, что вы уже знаете особенности учебника, научились понимать его язык.

Related Posts